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下面给出线段树的几个应用：

（1）有一列数，初始值全部为0。每次可以进行以下三种操作中的一种：

a. 给指定区间的每个数加上一个特定值；

b.将指定区间的所有数置成一个统一的值；

c.询问一个区间上的最小值、最大值、所有数的和。

给出一系列a.b.操作后，输出c的结果。

[问题分析]

这个是典型的线段树的应用。在每个节点上维护一下几个变量：delta（区间增加值），same（区间被置为某个值），min（区间最小值），max（区间最大值），sum（区间和），其中delta和same属于“延迟标记”。

（2）在所有不大于30000的自然数范围内讨论一个问题：已知n条线段，把端点依次输入给你，然后有m（≤30000）个询问，每个询问输入一个点，要求这个点在多少条线段上出现过。

[问题分析]

在这个问题中，我们可以直接对问题处理的区间建立线段树，在线段树上维护区间被覆盖的次数。将n条线段插入线段树，然后对于询问的每个点，直接查询被覆盖的次数即可。

但是我们在这里用这道题目，更希望能够说明一个问题，那就是这道题目完全可以不用线段树。我们将每个线段拆成(L,+1)，(R+1,-1)的两个事件点，每个询问点也在对应坐标处加上一个询问的事件点，排序之后扫描就可以完成题目的询问。我们这里讨论的问题是一个离线的问题，因此我们也设计出了一个很简单的离线算法。线段树在处理在线问题的时候会更加有效，因为它维护了一个实时的信息。

这个题目也告诉我们，有的题目尽管可以使用线段树处理，但是如果我们能够抓住题目的特点，就可能获得更加优秀的算法。

（3）某次列车途经C个城市，城市编号依次为1到C，列车上共有S个座位，铁路局规定售出的车票只能是坐票，即车上所有的旅客都有座，售票系统是由计算机执行的，每一个售票申请包含三个参数，分别用O、D、N表示，O为起始站，D为目的地站，N为车票张数，售票系统对该售票申请作出受理或不受理的决定，只有在从O到D的区段内列车上都有N个或N个以上的空座位时该售票申请才被受理，请你写一个程序，实现这个自动售票系统。

[问题分析]

这里我们可以把所有的车站顺次放在一个数轴上，在数轴上建立线段树，在线段树上维护区间的delta与max。每次判断一个售票申请是否可行就是查询区间上的最大值；每个插入一个售票请求，就是给一个区间上所有的元素加上购票数。

这道题目在线段树上维护的信息既包括自下至上的递推，也包括了自上至下的传递，能够比较全面地对线段树的基本操作进行训练。

（4）给一个n*n的方格棋盘，初始时每个格子都是白色。现在要刷M次黑色或白色的油漆。每次刷漆的区域都是一个平行棋盘边缘的矩形区域。

输入n,M,以及每次刷漆的区域和颜色，输出刷了M次之后棋盘上还有多少个棋格是白色。

[问题分析]

首先我们从简单入手，考虑一维的问题。即对于一个长度为n的白色线段，对它进行M次修改（每次更新某一子区域的颜色）。问最后还剩下的白色区域有多长。

对于这个问题，很容易想到建立一棵线段树的模型。复杂度为O(Mlgn)。

扩展到二维，需要把线段树进行调整，即首先在横坐标上建立线段树，它的每个节点是一棵建立在纵坐标上的线段树（即树中有树。称为二维线段树）。复杂度为O(M(logn)^2)。

4、总结

利用线段树，我们可以高效地询问和修改一个数列中某个区间的信息，并且代码也不算特别复杂。

但是线段树也是有一定的局限性的，其中最明显的就是数列中数的个数必须固定，即不能添加或删除数列中的数。

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